Как стало известно «НовостиВолгограда.ру», Анатолий Калмыков родился 6 июня 1966 года в Волгограде. Начинал осваивать лечебное дело в Волгоградском медицинском институте, где проучился четыре курса, в 1989 году окончил военно-медицинский факультет Саратовского мединститута. Год спустя получил красный диплом 69-й интернатуры медицинского состава по специальности «Хирургия» в Закавказском военном округе. В 2004 году стал выпускником Военно-медицинской академии им. С. М. Кирова.
Анатолий Анатольевич — известный военный врач. Служить начал в Закавказском военном округе на территории Армении. В 1994 году был переведен в Северо-Кавказский военный округ, где во время первой Чеченской кампании оказался контужен. С 1995-го по 1999-й год был командиром медицинской роты — ведущим хирургом 201-й мотострелковой дивизии, дислоцированной в Таджикистане.
В 1999 году Калмыкова перевели в СКВО на должность начмеда мотострелкового полка в Волгограде. Через короткое время был отправлен в составе батальонной тактической группы в Ботлих в Дагестане. Затем вновь оказался в Чечне, где принял под свое командование отдельный медицинский батальон в Ханкале. Здесь же возглавлял 22-й военный госпиталь.
В 2004 году Калмыков принял под командование медицинский отряд специального назначения СКВО. В августе 2008 года принимал участие в боевых действиях в Южной Осетии. В марте 2010-го назначен заместителем начальника медицинской службы Приволжско-Уральского военного округа, а затем возглавил медицинскую службу Центрального военного округа.
Анатолию Калмыкову было присвоено звание «полковник медицинской службы». Он был награжден орденом Мужества, медалями «За отвагу», «За ратную доблесть» и «За спасение погибавших». С 2017 года указом Президента России является заслуженным работником здравоохранения РФ.